कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन .
एनसीईआरटी समाधान
कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन
प्रश्नावली 12.2 के लिए
एनसीईआरटी समाधान
प्रश्नावली 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजक का गुणनखंडन कीजिए।
(i) a² + 8a +16
(ii) p² - 10p + 25
- (iii) 25m² + 30m + 9
- (iv) 49y² + 84yz + 36z²
- (v) 4x² - 8x + 4
- (vi) 121b² - 88bc + 16c²
- (vii) (l + m)² - 4 lm
- (संकेत: पहले (l + m)² का विस्तार करें)
- (viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
समाधान:
(i) a² + 8a + 16
यहाँ, 4 + 4 = 8 और 4 × 4 = 16
a² + 8a +16
= a² + 4a + 4a+ 4 × 4
= (a² + 4a) + (4a + 16)
= a (a + 4) + 4 (a + 4)
= (a+ 4) (a + 4)
= (a + 4)²
(ii) p² - 10p + 25
यहाँ, 5 + 5 = 10 और 5 × 5 = 25
P²– 10p + 25
= p²– 5p – 5p + 5 × 5
= (p²– 5p) + (-5p + 25)
= p(p - 5) - 5 (p - 5)
= (p - 5) (p - 5)
= (p - 5)²
(iii) 25m² + 30m + 9
यहाँ, 15 + 15 = 30 और 15 × 15 = 25 × 9 = 225
25m² + 30m + 9
= 25m² + 15m + 15m + 9
= (25m² + 15m) + (15m + 9)
= 5m(5m + 3) + 3(5m + 3)
= (5m + 3) (5m + 3)
= (5मी + 3)²
(iv) 49y² + 84yz + 36z²
यहाँ, 42 + 42 = 84 और 42 × 42 = 49 × 36 = 1764
49y² + 84yz + 36z²
= 49y² + 42yz + 42yz + 36z2
= 7y(7y + 6z) +6z(7y + 6z)
= (7y + 6z) (7y + 6z)
= (7y + 6z)²
(v) 4x² - 8x + 4
= 4(x² – 2x + 1) [4 उभयनिष्ठ लेकर]
= 4(x² - x - x + 1)
= 4 [x (x - 1) -1 (x- 1)]
= 4 (x - 1) (x - 1)
= 4(x – 1)²
(vi) 121b² - 88bc + 16c²
यहाँ, 44 + 44 = 88 और 44 × 44 = 121 × 16 = 1936
121b² – 88bc + 16c²
= 121b² - 44bc - 44bc + 16c²
= 11b(11b – 4c) – 4c(11b – 4c)
= (11b - 4c) (11b - 4c)
= (11b - 4c)²
(vii) (l+ m)² - 4 lm
(l + m)² का प्रसार करने पर, हम पाते हैं
l²+ 2 lm + m²- 4 lm
= l² - 2lm + m²
= l² - lm - lm + m²
= l (l - m) - m (l - m)
= (l- m) (l - m)
= (l - m)²
(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
= a⁴+ a²b²+ a²b²+ b⁴
= a²(a²+ b²) + b²(a²+ b²)
= (a²+ b²)(a²+ b²)
= (a²+ b²)²
पूर्व 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2
गुणनखण्ड।
(i) 4p²- 9q²
(ii) 63a² - 112b²
(iii) 49x² - 36
(iv) 16x5 - 144x³
(v) (l + m)² - (l - m)²
(vi) 9x²y² - 16
(vii) (x² - 2xy + y²) - z²
(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²
उपाय:
(i) 4p² - 9q²
= (2p)² - (3q)²
= (2p – 3q) (2p + 3q)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
(ii) 63a² - 112b²
= 7(9a² - 16b²)
= 7 [(3a)² - (4b)²]
= 7(3a – 4b)(3a + 4b)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
(iii) 49x² - 36 = (7x)² - (6)²
= (7x – 6) (7x + 6)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
(iv) 16x5 - 144x³
= 16x³ (x² - 9)
= 16x³ [(x)² - (3)²]
= 16x³(x – 3)(x + 3)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
(v) (l + m)² - (l - m)²
= (l + m) - (l - m)] [(l + m) + (l - m)]
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
= (l+ m - l + m) (l + m + l - m)
= (2m) (2l)
= 4 ml
(vi) 9x²y²- 16 = (3xy)²- (4)²
= (3xy – 4)(3xy + 4)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
(vii) (x² - 2xy + y²) - z²
= (x – y)² – z²
= (x - y - z) (x - y + z)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²
= 25a² - (4b² - 28bc + 49c²)
= (5a)² - (2b - 7c)²
= [5a - (2b - 7c)] [5a + (2b - 7c)]
= (5a - 2b + 7c) (5a + 2b - 7c)
प्रश्नावली 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.
व्यंजकों का गुणनखंडन कीजिए।
(i) ax²+ bx
(ii) 7p²+ 21q²
(iii) 2x³ + 2xy²+ 2xz²
(iv) am² + bm²+ bn²+ anan²
(V) (lm + l) + m + 1
(vi) y(y + z) + 9 (y + z)
(vii) 5y2 - 20y - 8z + 2yz
(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x
हल
(i) ax²+ bx
= x(ax + 5)
(ii) 7p²+ 21q²
= 7(p² + 3q²)
(iii) 2x³ + 2xy²+ 2xz²
= 2x(x² + y² + z²)
(iv) am² + bm²+ bn²+ an²
= m²(a+ b) + n²(a+ b)
= (a+ b) (m²+ n²)
(V) (lm + l) + m + 1
= l (m + 1) + (m + 1)
= (m+ 1) (l + 1)
(vi) y(y + z) + 9 (y + z)
= (y + z) (y + 9)
(vii) 5y² - 20y - 8z + 2yz
= 5y² – 20y + 2yz – 8z
= 5y(y – 4) + 2z(y – 4)
= (y - 4) (5y + 2z)
(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
= 2a(5b + 2) + 1(5b + 2)
= (5b + 2)(2a + 1)
(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x
= 6xy – 4y – 9x + 6
= 2y(3x – 2) – 3(3x – 2)
= (3x - 2) (2y - 3)
Ex 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4.
गुणनखण्ड।
(i) a⁴- b⁴
(ii) p⁴- 81
(iii) x⁴- (y + z)⁴
(iv) x⁴- (x - z)⁴
(v) a⁴- 2a²b² + b⁴
समाधान:
(i) a⁴- b⁴- (a²)²- (b²)²
[∵ a²– b² = (a – b)(a + b)]
= (a² - b²) (a² + b²)
= (a- b) (a+ b) (a²+ b²)
(ii) p⁴ - 81 = (p²)²- (9)²
= (p²- 9) (p²+ 9)
[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]
= (p- 3) (p + 3) (p²+ 9)
(iii) x⁴ - (y + z)⁴ = (x²)² - [(y + z)²]²
[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]
= [x² - (y + z)²] [x²+ (y + z)²]
= [x - (y + z)] [x + (y + z)] [x² + (y + z)²]
= (x - y - z) (x + y + z) [x² + (y + z)²]
(iv) x⁴ - (x - z)⁴ = (x²)² - [(y - z)²]²
= [x² - (y - z)²] [x²+ (y - z)²]
= (x - y + z) (x + y - z) (x² + (y - z)²]
(v) a⁴- 2a²b² + b⁴
= a⁴- a²b²- a²b²+ b⁴
= a²(a² – b²) – b²(a²– b²)
= (a² - b²) (a² - b²)
= (a²- b²)²
= [(a- b) (a+ b)] ²
= (a - b)² (a+ b)²
Ex 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 5.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए।
(i) p²+ 6p + 8
(ii) q²- 10q+ 21
(iii) p² + 6p - 16
समाधान:
(i) p² + 6p + 8
यहाँ, 2 + 4 = 6 और 2 × 4 = 8
p²+ 6p + 8
= p²+ 2p + 4p + 8
= p (p+ 2) + 4 (p+ 2)
= (p+ 2) (p+ 4)
(ii) q²- 10q+ 21
यहाँ, 3 + 7 = 10 और 3 × 7 = 21
q²- 10q + 21
= q² - 3q - 7q + 21
= q(q - 3) - 7 (q - 3)
= (q - 3) (q - 7)
(iii) p² + 6p - 16
यहाँ, 8 - 2 = 6 और 8 × 2 = 16
p²+ 6p – 16
= p²+ 8p - 2p - 16
= p (p+ 8) - 2 (p+ 8)
= (p+ 8) (p - 2)
कक्षा 8 गणित अध्याय 14 गुणनखंड पूर्व 14.2 Q1 के लिए एनसीईआरटी समाधान
