8th math 12.2

    कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन .

        एनसीईआरटी समाधान

    कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन

        प्रश्नावली 12.2 के लिए

           एनसीईआरटी समाधान

   प्रश्नावली 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 1.

   निम्नलिखित व्यंजक का गुणनखंडन कीजिए।

          (i) a² + 8a +16

         (ii) p² - 10p + 25

• (iii) 25m² + 30m + 9
• (iv) 49y² + 84yz + 36z²
• (v) 4x² - 8x + 4
• (vi) 121b² - 88bc + 16c²
• (vii) (l + m)² - 4 lm 
• (संकेत: पहले (l + m)² का विस्तार करें)
• (viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴

समाधान:

(i) a² + 8a + 16

यहाँ, 4 + 4 = 8 और 4 × 4 = 16

a² + 8a +16

= a² + 4a + 4a+ 4 × 4

= (a² + 4a) + (4a + 16)

= a (a + 4) + 4 (a + 4)

= (a+ 4) (a + 4)

= (a + 4)²

(ii) p² - 10p + 25 

यहाँ, 5 + 5 = 10 और 5 × 5 = 25

   P²– 10p + 25

= p²– 5p – 5p + 5 × 5

= (p²– 5p) + (-5p + 25)

= p(p - 5) - 5 (p - 5)

= (p - 5) (p - 5)

= (p - 5)²

(iii) 25m² + 30m + 9

यहाँ, 15 + 15 = 30 और 15 × 15 = 25 × 9 = 225

  25m² + 30m + 9

= 25m² + 15m + 15m + 9

= (25m² + 15m) + (15m + 9)

= 5m(5m + 3) + 3(5m + 3)

= (5m + 3) (5m + 3)

= (5मी + 3)²

(iv) 49y² + 84yz + 36z²

यहाँ, 42 + 42 = 84 और 42 × 42 = 49 × 36 = 1764

49y² + 84yz + 36z²

= 49y² + 42yz + 42yz + 36z2

= 7y(7y + 6z) +6z(7y + 6z)

= (7y + 6z) (7y + 6z)

= (7y + 6z)²

(v) 4x² - 8x + 4

= 4(x² – 2x + 1) [4 उभयनिष्ठ लेकर]

= 4(x² - x - x + 1)

= 4 [x (x - 1) -1 (x- 1)]

= 4 (x - 1) (x - 1)

= 4(x – 1)²

(vi) 121b² - 88bc + 16c²

यहाँ, 44 + 44 = 88 और 44 × 44 = 121 × 16 = 1936

121b² – 88bc + 16c²

= 121b² - 44bc - 44bc + 16c²

= 11b(11b – 4c) – 4c(11b – 4c)

= (11b - 4c) (11b - 4c)

= (11b - 4c)²

(vii) (l+ m)² - 4 lm

(l + m)² का प्रसार करने पर, हम पाते हैं

l²+ 2 lm + m²- 4 lm

= l² - 2lm + m²

= l² - lm - lm + m²

= l (l - m) - m (l - m)

= (l- m) (l - m)

= (l - m)²

(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴

= a⁴+ a²b²+ a²b²+ b⁴

= a²(a²+ b²) + b²(a²+ b²)

= (a²+ b²)(a²+ b²)

= (a²+ b²)²

पूर्व 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2

गुणनखण्ड।

(i) 4p²- 9q²

(ii) 63a² - 112b²

(iii) 49x² - 36

(iv) 16x5 - 144x³

(v) (l + m)² - (l - m)²

(vi) 9x²y² - 16

(vii) (x² - 2xy + y²) - z²

(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²

उपाय:

(i) 4p² - 9q²

= (2p)² - (3q)²

= (2p – 3q) (2p + 3q)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(ii) 63a² - 112b²

= 7(9a² - 16b²)

= 7 [(3a)² - (4b)²]

= 7(3a – 4b)(3a + 4b)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(iii) 49x² - 36 = (7x)² - (6)²

= (7x – 6) (7x + 6)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(iv) 16x5 - 144x³ 

= 16x³ (x² - 9)

= 16x³ [(x)² - (3)²]

= 16x³(x – 3)(x + 3)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(v) (l + m)² - (l - m)²

= (l + m) - (l - m)] [(l + m) + (l - m)]

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

= (l+ m - l + m) (l + m + l - m)

= (2m) (2l)

= 4 ml

(vi) 9x²y²- 16 = (3xy)²- (4)²

= (3xy – 4)(3xy + 4)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(vii) (x² - 2xy + y²) - z²

= (x – y)² – z²

= (x - y - z) (x - y + z)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²

= 25a² - (4b² - 28bc + 49c²)

= (5a)² - (2b - 7c)²

= [5a - (2b - 7c)] [5a + (2b - 7c)]

= (5a - 2b + 7c) (5a + 2b - 7c)

प्रश्नावली 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.

व्यंजकों का गुणनखंडन कीजिए।

(i) ax²+ bx

(ii) 7p²+ 21q²

(iii) 2x³ + 2xy²+ 2xz²

(iv) am² + bm²+ bn²+ anan²

(V) (lm + l) + m + 1

(vi) y(y + z) + 9 (y + z)

(vii) 5y2 - 20y - 8z + 2yz

(viii) 10ab + 4a + 5b + 2

(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x

हल

(i) ax²+ bx 

= x(ax + 5)

(ii) 7p²+ 21q² 

= 7(p² + 3q²)

(iii) 2x³ + 2xy²+ 2xz² 

= 2x(x² + y² + z²)

(iv) am² + bm²+ bn²+ an²

= m²(a+ b) + n²(a+ b)

= (a+ b) (m²+ n²)

(V) (lm + l) + m + 1

= l (m + 1) + (m + 1)

= (m+ 1) (l + 1)

(vi) y(y + z) + 9 (y + z) 

= (y + z) (y + 9)

(vii) 5y² - 20y - 8z + 2yz

= 5y² – 20y + 2yz – 8z

= 5y(y – 4) + 2z(y – 4)

= (y - 4) (5y + 2z)

(viii) 10ab + 4a + 5b + 2

= 2a(5b + 2) + 1(5b + 2)

= (5b + 2)(2a + 1)

(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x

= 6xy – 4y – 9x + 6

= 2y(3x – 2) – 3(3x – 2)

= (3x - 2) (2y - 3)

Ex 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4.

गुणनखण्ड।

(i) a⁴- b⁴

(ii) p⁴- 81

(iii) x⁴- (y + z)⁴

(iv) x⁴- (x - z)⁴

(v) a⁴- 2a²b² + b⁴

समाधान:

(i) a⁴- b⁴- (a²)²- (b²)²

[∵ a²– b² = (a – b)(a + b)]

= (a² - b²) (a² + b²)

= (a- b) (a+ b) (a²+ b²)

(ii) p⁴ - 81 = (p²)²- (9)²

= (p²- 9) (p²+ 9)

[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]

= (p- 3) (p + 3) (p²+ 9)

(iii) x⁴ - (y + z)⁴ = (x²)² - [(y + z)²]²

[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]

= [x² - (y + z)²] [x²+ (y + z)²]

= [x - (y + z)] [x + (y + z)] [x² + (y + z)²]

= (x - y - z) (x + y + z) [x² + (y + z)²]

(iv) x⁴ - (x - z)⁴ = (x²)² - [(y - z)²]²

= [x² - (y - z)²] [x²+ (y - z)²]

= (x - y + z) (x + y - z) (x² + (y - z)²]

(v) a⁴- 2a²b² + b⁴

= a⁴- a²b²- a²b²+ b⁴

= a²(a² – b²) – b²(a²– b²)

= (a² - b²) (a² - b²)

= (a²- b²)²

= [(a- b) (a+ b)] ²

= (a - b)² (a+ b)²

Ex 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 5.

निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए।

(i) p²+ 6p + 8

(ii) q²- 10q+ 21

(iii) p² + 6p - 16

समाधान:

(i) p² + 6p + 8

यहाँ, 2 + 4 = 6 और 2 × 4 = 8

p²+ 6p + 8

= p²+ 2p + 4p + 8

= p (p+ 2) + 4 (p+ 2)

= (p+ 2) (p+ 4)

(ii) q²- 10q+ 21

यहाँ, 3 + 7 = 10 और 3 × 7 = 21

q²- 10q + 21

= q² - 3q - 7q + 21

= q(q - 3) - 7 (q - 3)

= (q - 3) (q - 7)

(iii) p² + 6p - 16

यहाँ, 8 - 2 = 6 और 8 × 2 = 16

p²+ 6p – 16

= p²+ 8p - 2p - 16

= p (p+ 8) - 2 (p+ 8)

= (p+ 8) (p - 2)

कक्षा 8 गणित अध्याय 14 गुणनखंड पूर्व 14.2 Q1 के लिए एनसीईआरटी समाधान