Math formula 6th to 8th

 

कक्षा 6 के लिए गणित के सूत्र सीखे

कक्षा 6 के लिए महत्वपूर्ण गणित सूत्रों की सूची

यहां कक्षा 6 के लिए कुछ महत्वपूर्ण गणित सूत्रों की एक संक्षिप्त सूची दी गई है।

1,000,000,000 को एक अरब कहा जाता है.

शून्य से विभाजित कोई भी संख्या 'अपरिभाषित' कहलाती है। 

यदि किसी दी गई संख्या में इकाई के स्थान पर 0 है तो वह 10 से विभाज्य होगी।

कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसके इकाई के स्थान पर 0 या 5 हो।

कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसके इकाई के स्थान पर 0, 2, 4, 6 या 8 हो।

एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि अंकों का योग 3 का गुणज हो।

यदि कोई संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, तो वह 6 से भी विभाज्य है।

3 या अधिक अंकों वाली संख्याओं के लिए, 4 से विभाज्यता की पुष्टि की जाती है यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, या अंतिम दो अंक 0 हैं।

4 या अधिक अंकों वाली संख्याओं के लिए, 8 से विभाज्यता की पुष्टि की जाती है यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या भी 8 से विभाज्य है या अंतिम तीन अंक 0 हैं।

9 से विभाज्यता की जांच यह देखकर की जा सकती है कि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है या नहीं।

किसी संख्या की 11 से विभाज्यता की पुष्टि करने के लिए, संख्या के विषम स्थानों (दाएं से शुरू) के अंकों के योग और सम स्थानों (दाएं से शुरू) के अंकों के योग के बीच अंतर ज्ञात करें। यदि अंतर 0 आता है या वह 11 से विभाज्य है, तो वह संख्या 11 से विभाज्य कहलाती है।

ज्यामिति कक्षा 6 गणित सूत्र

यहां कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाओं और सूत्रों की एक सूची दी गई है जो छात्रों को ज्यामिति के विषय को समझने में मदद करेगी:

बहुभुज रेखाखंडों से बनी एक सरल बंद आकृति को बहुभुज कहा जाता है।

त्रिभुज तीन भुजाओं वाला बहुभुज है । 

 चतुर्भुज चार भुजाओं वाला बहुभुज है।

किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर मिलने वाले बिंदु के मार्ग को वृत्त कहा जाता है। केंद्र निश्चित बिंदु है, त्रिज्या केंद्र से निश्चित दूरी है, और परिधि वृत्त के चारों ओर पथ की कुल दूरी है।

वृत्त की जीवा एक रेखाखंड है जो वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ता है।

त्रिभुजों को उनकी भुजाएँ एक दूसरे के साथ बनने वाले कोण के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

कोणों के आधार पर त्रिभुज के प्रकार 

समकोण त्रिभुज 

न्यून कोण त्रिभुज 

अधिक कोण त्रिभुज

भुजा के आधार पर त्रिभुज के प्रकार

समबाहु त्रिभुज

विषमबाहु त्रिभुज

समद्बीबाहु त्रिभुज

त्रिआयामी आकृतियां

घन, गोले, घनाकार, बेलन, प्रिज्म, शंकु और पिरामिड त्रि-आयामी आकृतियाँ हैं जिन्हें हम अपने चारों ओर देखते हैं।

कक्षा 6 गणित के लिए पूर्णांक, भिन्न और दशमलव सूत्र

पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्नात्मक भाग के बिना लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3 पूर्णांक हैं। 

भिन्न संपूर्ण के एक भाग के संख्यात्मक मान का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इसमें एक अंश और एक हर होता है। उदाहरण के लिए, ⅔, 6/7, इत्यादि। 

दशमलव वह संख्या है जिसमें संपूर्ण संख्या भाग और भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु द्वारा अलग किया जाता है जिसे दशमलव बिंदु कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 3.45, 7.12, इत्यादि।

 कक्षा 6 के गणित के पूर्णांकों, भिन्नों और दशमलवों के सूत्रों के बारे में जानें।

दो धनात्मक पूर्णांकों को जोड़ने पर एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, (+ 5) + (+ 2) = + 7

दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने पर एक ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, (-5) + (-1) = -6

एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ने के लिए, उनके चिह्नों को ध्यान में रखे बिना उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में घटाएँ, और फिर घटाव के परिणाम में बड़ी संख्या का चिह्न रखें।

यदि अंश हर से कम है तो यह एक उचित भिन्न है।

यदि अंश हर से बड़ा है तो यह एक अनुचित भिन्न है।

किसी भी दशमलव संख्या को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

कक्षा 6 गणित के लिए क्षेत्रमिति सूत्र

कक्षा 6 के क्षेत्रमिति सूत्रों का उपयोग लंबाई, चौड़ाई, क्षेत्रफल और परिधि जैसी बंद आकृतियों के आयामों की गणना करने के लिए किया जाता है। किसी बंद आकृति का क्षेत्रफल उसके द्वारा कवर की गई सतह की मात्रा को दर्शाता है। परिधि बंद आकृति की सीमा के साथ तय की गई दूरी है।

वर्ग का परिमाप = 4 × उसकी भुजा की लंबाई

आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × एक भुजा की लंबाई

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

कक्षा 6 गणित के लिए अनुपात और समानुपात सूत्र

हम अक्सर एक ही प्रकार की मात्राओं की तुलना करते समय मात्राओं के बीच अंतर निकालने के दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं। कई मामलों में, मात्राओं की अधिक सार्थक तुलना करने के लिए विभाजन का उपयोग किया जाता है।

अनुपात द्वारा तुलना इस प्रक्रिया को दिया गया नाम है। अनुपात और अनुपात के संबंध में कक्षा 6 गणित के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र नीचे दिए गए हैं जो छात्रों को इस अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेंगे:

अनुपात के अनुसार तुलना करने के लिए आगे बढ़ने के लिए विचाराधीन दो मात्राएँ एक ही इकाई में होनी चाहिए।

दो अनुपातों को समतुल्य कहा जाता है, यदि उनके संगत दिए गए भिन्न भी समतुल्य हों।

चार मात्राएँ आनुपातिक कहलाती हैं, यदि पहली और दूसरी मात्रा का अनुपात तीसरी और चौथी मात्रा के अनुपात के बराबर हो।

कक्षा 6 गणित के लिए बीजगणित सूत्र

कक्षा 6 के गणित के लिए बीजगणित सूत्र छात्रों को चर और स्थिरांक की अवधारणा से परिचित कराएंगे और उनसे बीजगणितीय अभिव्यक्ति बनाकर गणित में किसी भी समस्या को कैसे हल किया जा सकता है।

चर से तात्पर्य उस मान से है जो निश्चित नहीं है। यह अलग-अलग मान ले सकता है.

किसी समीकरण में चर का वह मान जो समीकरण के लिए सत्य होता है, उस समीकरण का हल कहलाता है।

समीकरण एक चर पर प्रदर्शित एक स्थिति है।

एक समीकरण दो पक्षों से बना होता है, जिन्हें बायां पक्ष और दायां पक्ष कहा जाता है, जो एक समान (=) चिह्न से अलग होते हैं

कक्षा 7 के लिए गणित के सूत्र सीखें

कक्षा 7 के लिए महत्वपूर्ण गणित सूत्रों की सूची

a²×a³ = a²+³

a³ ÷ a² =a³-²

a²/b²= (a/b)²

(a²)³ = a²*³ 

(a-b-c)² = a² + b²+ c² - 2ab + 2bc - 2ac

प्रतिशत में वृद्धि = (परिवर्तन / मूल राशि) × 100

लाभ प्रतिशत = (लाभ/लागत मूल्य) × 100

साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

राशि = मूलधन + ब्याज

पाइथागोरस प्रमेय : (कर्ण)² = (आधार)² + (लंम्ब)²

वृत्त का क्षेत्रफल = πr², जहां 'r' वृत्त की त्रिज्या है और π = 22/7 या 3.14

परिमेय संख्याएँ कक्षा 7 गणित सूत्र

परिमेय संख्याएँ कक्षा 7 के गणित सूत्र छात्रों को परिमेय संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का विचार प्राप्त करने में मदद करते हैं।

परिमेय संख्याओं का गुणनफल = (अंशांकों का गुणनफल) / (भाजक का गुणनफल)

प्रथम परिमेय संख्या × (अन्य परिमेय संख्या का व्युत्क्रम)

व्यावहारिक ज्यामिति कक्षा 7 गणित सूत्र

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²

वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

वृत्त की परिधि = π d, जहां 'd' वृत्त का व्यास है और π = 22/7 या 3.14

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

कक्षा 7 गणित के लिए घातांक और घात सूत्र

कक्षा 7 गणित के लिए राशियों की तुलना सूत्रों की तुलना करना

यदि किन्हीं दो अनुपातों की तुलना करने की आवश्यकता हो, तो उन्हें समान भिन्नों में परिवर्तित करके ऐसा किया जा सकता है। यदि दो भिन्न बराबर हैं तो दिए गए दोनों अनुपात समतुल्य हैं।

किन्हीं चार मात्राओं के लिए, यदि उनके दो अनुपात समतुल्य हैं, तो वे चार मात्राएँ आनुपातिक कहलाती हैं।

प्रतिशत में वृद्धि = (परिवर्तन / मूल राशि) × 100

लाभ प्रतिशत = (लाभ/लागत मूल्य) × 100

साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

राशि = मूलधन + ब्याज

कक्षा 7 गणित के लिए बीजगणित सूत्र

बीजीय व्यंजक बनाने के लिए चर और स्थिरांक का उपयोग किया जाता है। 

पद में संख्यात्मक मान को गुणांक कहा जाता है।

दो बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ने पर समान पद एक साथ जुड़ जाते हैं जबकि विपरीत को वैसे ही छोड़ दिया जाता है।

(a-b)² = a² - 2ab + b²

(a-b-c)² = a² + b² + c² - 2ab + 2bc - 2ac

कक्षा 8 के लिए गणित के सूत्र सीखें

यहां कक्षा 8 के गणित सूत्रों की एक संक्षिप्त सूची दी गई है 

परिमेय संख्या का योगात्मक व्युत्क्रम: a/b = -b/a

a/b = c/d का गुणात्मक व्युत्क्रम ,  यदि a/b × c/d = 1

वितरकता  नियम : a(b - c) = ab - ac

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = किसी घटना में शामिल परिणामों की संख्या/ परिणामों की कुल संख्या

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र = राशि - मूलधन,  यदि ब्याज की गणना वार्षिक रूप से की जानी है।

 तो राशि = मूलधन (1 + दर/100)n, जहां 'n समय अवधि है।

(a-b)² = a² - 2ab + b²

(a+b) (a-b) = a² - b²

ईयलर का सूत्र : 

किसी भी बहुफलक ठोस के लिए, फलकों की संख्या + शीर्षों की संख्या - किनारों की संख्या = 2

शंकु का आयतन = (1 / 3 )πr²h

गोले का आयतन = (4/3) π r³

परिमेय संख्याएँ कक्षा 8 गणित सूत्र

परिमेय संख्या 

• कोई भी संख्या, जिसे a ⁄ b के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ b ≠ 0) परिमेय संख्याएँ हैं।
•  परिमेय संख्याओं के गुण इस प्रकार हैं:-
• 
  
• परिमेय संख्याएं योग , व्यवकलन और गुणन की संक्रियाओं के अंतर्गत संवृत है, परंतु भाग के अंतर्गत संवृत नहीं है। 
• 
  
• परिमेय संख्याओं के लिए योग और गुणन की संक्रियाएं क्रम विनिमय तथा सहचार्य है परंतु व्यवकलन तथा भाग के नहीं है
• 
  
• योज्य तत्समक:-  (a ⁄ b + 0) = (a ⁄ b) परिमेय संख्याओं के लिए 0 योज्य तत्समक है
• 
  
• गुणात्मक तत्समक  :-  (a ⁄ b) × 1 = (a/b) परिमेय संख्याओं के लिए 1 गुणात्मक तत्सम है। 
• 
  
• योज्य प्रतिलोम परिमेय संख्या a ⁄ b का योज्य प्रतिलोम - a ⁄ b है और
• 
  
• गुणात्मक प्रतिलोम या व्युत्क्रम  :- यदि  (a ⁄ b) × (b/a) = 1
• a ⁄ b का गुणात्मक प्रतिलोम या व्युत्क्रम b/a है। 
• 
  
• परिमेय संख्याओं की वितरकता परिमेय संख्याएं a, b और c के लिए a(b+c) =ab+ac   and   a(b-c) =ab-ac   
• 
  
• परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है
• 
  
• दी गई दो परिमेय संख्याओं के मध्य अपरिमित परिमेय संख्याएं होती हैं   

ज्यामिति ठोस आकार

ज्यामिति ठोस आकार कक्षा 8 गणित सूत्र:-

एक शंकु का  पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1/2 × l × 2πr = πrl, जहां 'r' इसका आधार त्रिज्या है और 'l' इसकी तिरछी ऊंचाई है। 'l' = √(r²+h²)

घनाभ का आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

शंकु का आयतन = (1/3 )πr²h

गोले का आयतन = (4/3) π r³

गोलार्ध का आयतन = (2/3) πr³

कक्षा 8 गणित के लिए आंकड़ों का प्रबंधन सूत्र

प्रायिकता = किसी घटना के होने वाले परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या, यदि परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

कक्षा 8 गणित के लिए घातांक सूत्र

एक घातांक उस मान का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की संख्या को संदर्भित करता है। उदाहरण के लिए, 5 × 5 × 5 को 5³ के रूप में लिखा जा सकता है। 

गुणनफल का नियम : a³× a²=a³ +²

भागफल का नियम : a³/a² = a³-²

शून्य घातांक का नियम:  a⁰=1

ऋणात्मक घातांक का नियम: a-² = 1/ a²

 (a²)³=a²×³

(a×b)² =a²×b²

 (a/b)² = a²/b²

कक्षा 8 गणित के लिए मात्रा सूत्रों की तुलना करना

छूट = अंकित मूल्य - बिक्री मूल्य

साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय)/100

चक्रवृद्धि ब्याज फॉर्मूला = राशि - मूलधन

यदि ब्याज की गणना वार्षिक रूप से की जानी है, तो राशि = मूलधन (1 + दर/100)n, 'n' समय अवधि है।

कक्षा 8 गणित के लिए बीजगणित

(a+ b)² = a² + 2ab+ b²

(a + b) (a - b) = a² - b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

चतुभुजों को समझना अध्याय 3

बहुभुज केवल रेखाखंड से बना सरल बंद वक्र बहुभुज कहलाता है

त्रिभुज में तीन चतुर्भुज में चार पंचभुज में पांच  भुजाएं होती हैं

 विकरण किसी बहुभुज का विकरण उसके किन्हीं दो सरसों को जोड़ने से प्राप्त रेखाखंड होता है आसान सरसों को छोड़कर

एक बंद वक्र के में अभियंतर और वही भाग

उत्तर और अवतल बहुभुज

सम तथा विषम बहुभुज जिन बहुभूजों में सभी कौन तथा भुजाएं समान होती हैं उसे सम बहुभुज कहते हैं तथा जिसमें यह सामान नहीं होती उन्हें विशंभर बीच कहते हैं

चतुर्भुज के  चारों कोणों का योगफल  360 डिग्री होता है

बहुभुज के सभी अंतः कोणों के योगफल का सूत्र है  :- (n-2) ×180

किसी भी बहुभुज के भैया कोणों के माफ का योग 360 होता है

चतुभुजों की रचना :-

पांच माप से एक अद्वितीय चतुर्भुज प्राप्त हो सकता है। 

एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसकी चार भुजाओं की लंबाई और एक विकर्ण दिया हुआ है। 

एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसके दो विकरण और तीन भुजाएं दी हो ।

 

एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसकी दो आसन भुजाएं और तीन कोणों की माप ज्ञात हो। 

एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना की जा सकती है, यदि उसकी तीन भुजाएं और दो बीच के कोण दिए हुए। 

8th 11 math

 

कक्षा 8 गणित अध्याय 11 

सीधा तथा प्रतिलोमानुपात लिए एनसीईआरटी समाधान

प्रश्नावली 11.1 कक्षा 8 गणित 

प्रश्न 1.

रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क निम्नलिखित है।

4 घंटे - ₹ 60

8 घंटे - ₹ 100

12 घंटे - ₹ 140

24 घंटे - ₹ 180

जांचें कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के सीधे अनुपात में है।

समाधान:

हमारे पास समयावधि और पार्किंग शुल्क का अनुपात है।

इसलिए दी गई समयावधि और पार्किंग शुल्क  सीधे आनुपातिक नहीं हैं।

प्रश्नावली 11.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2

आधार के 8 भागों के साथ 1 भाग लाल रंग द्रव्य को मिलाकर पेंट का मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में, आधार के उन हिस्सों को ढूंढें जिन्हें जोड़ने की आवश्यकता है।

समाधान:

मान लीजिए कि रिक्त स्थानों को भरने के लिए संख्याएँ क्रमशः a, b, c और d हैं।

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3

उपरोक्त प्रश्न 2 में, यदि लाल रंग द्रव्य के 1 भाग के लिए 75 ml आधार की आवश्यकता होती है, तो हमें 1800 ml आधार के साथ कितना लाल रंग द्रव्य मिलाना चाहिए?

समाधान:

माना कि आवश्यक लाल वर्णक x भाग है।

इसलिए, लाल रंगद्रव्य की आवश्यक मात्रा = 24 भाग।

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4

शीतल पेय कारखाने की एक मशीन छह घंटे में 840 बोतलें भरती है। पाँच घंटे में यह कितनी बोतलें भरेगी?

समाधान:

माना बोतलों की आवश्यक संख्या x है।

अतः बोतलों की आवश्यक संख्या = 700।

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 5

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, 50,000 गुना बढ़े हुए बैक्टीरिया की एक तस्वीर 5 सेमी की लंबाई प्राप्त करती है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि तस्वीर को केवल 20,000 गुना बड़ा किया जाए, तो इसकी बढ़ी हुई लंबाई क्या होगी?

समाधान:

माना वास्तविक लंबाई x सेमी है।

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 6।

जहाज के एक मॉडल में, मस्तूल 9 सेमी ऊंचा होता है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊंचा होता है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो मॉडल जहाज कितना लंबा है?

समाधान:

माना मॉडल जहाज की आवश्यक लंबाई x मीटर है।

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 7.

मान लीजिए 2 किलो चीनी में 9 × 106 क्रिस्टल हैं। इसमें कितने चीनी क्रिस्टल हैं

(i) 5 किलो चीनी?

(ii) 1.2 किलो चीनी?

समाधान:

माना x आवश्यक चीनी क्रिस्टल की संख्या है।

कक्षा 8 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात उदाहरण 13.1 Q7

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात उदाहरण 13.1 Q7.1

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 8।

रश्मि के पास 1 सेमी के पैमाने पर 18 किमी का प्रतिनिधित्व करने वाला एक रोड मैप है। वह 72 किमी की सड़क पर गाड़ी चलाती है। मानचित्र में उसकी तय की गई दूरी क्या होगी?

समाधान:

माना आवश्यक दूरी x किमी है।

कक्षा 8 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात उदाहरण 13.1 Q8

अतः मानचित्र में तय की गई दूरी = 4 सेमी.

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 9।

5 मीटर 60 सेमी ऊंचे ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया 3 मीटर 20 सेमी लंबी बनती है। एक ही समय में खोजें

(i) 10 मीटर 50 सेमी ऊंचे एक अन्य खंभे द्वारा डाली गई छाया की लंबाई,

(ii) एक खंभे की ऊंचाई जिसकी छाया 5 मीटर लंबी है।

समाधान:

(i) माना छाया की आवश्यक लंबाई x मीटर है।

कक्षा 8 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात उदाहरण 13.1 Q9

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात उदाहरण 13.1 Q9.1

प्रश्नावली 13.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 10।

एक भरा हुआ ट्रक 25 मिनट में 14 किमी की यात्रा करता है। यदि गति वही रहे तो वह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर सकती है?

समाधान:

माना आवश्यक दूरी x किमी है।

कक्षा 8 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात उदाहरण 13.1 Q10

अतः आवश्यक दूरी = 168 किमी.

कक्षा 8 गणित अध्याय 13 प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम 

कक्षा 8 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात अभ्यास 13.2

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 1.

निम्नलिखित में से कौन व्युत्क्रमानुपाती हैं?

(i) किसी कार्य पर श्रमिकों की संख्या और कार्य पूरा करने का समय।

(ii) किसी यात्रा में लगने वाला समय और एक समान गति से तय की गई दूरी।

(iii) खेती योग्य भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल।

(iv) निश्चित यात्रा में लगने वाला समय और वाहन की गति।

(v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।

समाधान:

(i) जैसे-जैसे श्रमिकों की संख्या बढ़ेगी, काम पूरा होने में कम समय लगेगा। इसलिए, वे व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(ii) अधिक समय, अधिक दूरी तय करना। इसलिए, वे व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं।

(iii) खेती योग्य भूमि का अधिक क्षेत्रफल, कटाई के लिए अधिक फसल। इसलिए, वे व्युत्क्रमानुपाती नहीं हैं।

(iv) यदि गति बढ़ा दी जाए तो निर्धारित यात्रा पूरी करने में कम समय लगेगा। इसलिए, वे व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(v) यदि किसी देश की जनसंख्या बढ़ती है, तो प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल कम हो जाएगा। इसलिए, वे व्युत्क्रमानुपाती हैं।

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2

एक टेलीविज़न गेम शो में, ₹ 1,00,000 की पुरस्कार राशि विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित की जानी है। निम्नलिखित तालिका को पूरा करें और पता लगाएं कि क्या किसी व्यक्तिगत विजेता को दी गई पुरस्कार राशि विजेताओं की संख्या के सीधे या व्युत्क्रमानुपाती है?

विजेताओं की संख्या124581020प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (₹ में)1,00,00050,000–––––

समाधान:

मान लीजिए, रिक्त स्थानों को a, b, c, d और e द्वारा दर्शाया गया है।

तो, हम देखते हैं कि 1 × 100,000 = 2 × 50,000

⇒ 1,00,000 = 1,00,000

इसलिए वे व्युत्क्रमानुपाती हैं।

2 × 50,000 = 4 × ए





विजेताओं की संख्या124581020प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (₹ में)1,00,00050,00025,00020,00012,50010,0005,000

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.

रहमान तीलियों का उपयोग करके एक पहिया बना रहा है। वह समान तीलियों को इस प्रकार लगाना चाहता है कि क्रमागत तीलियों के किसी भी जोड़े के बीच का कोण बराबर हो। निम्नलिखित तालिका को पूरा करके उसकी सहायता करें।



तीलियों की संख्या4681012क्रमागत तीलियों के एक जोड़े के बीच का कोण90°60°–––

(i) क्या तीलियों की संख्या और लगातार तीलियों के जोड़े के बीच बनने वाला कोण व्युत्क्रमानुपाती है।

(ii) 15 तीलियों वाले एक पहिये पर क्रमागत तीलियों के एक जोड़े के बीच के कोण की गणना करें।

(iii) यदि क्रमागत तीलियों के एक जोड़े के बीच का कोण 40° है, तो कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी?

समाधान:

उपरोक्त तालिका से, हम इसका अवलोकन करते हैं

4 × 90° = 6 × 60°

360° = 360°

इस प्रकार दोनों मात्राएँ व्युत्क्रमानुपाती हैं।

मान लीजिए कि रिक्त स्थानों को a, b, और c से दर्शाया गया है।

4 × 90° = 8 × ए



अतः, आवश्यक तालिका है

तीलियों की संख्या4681012क्रमागत तीलियों के एक जोड़े के बीच का कोण90°60°45°36°

30°

(i) हां, वे विपरीत अनुपात में हैं

(ii) यदि तीलियों की संख्या 15 है, तो

4 × 90° = 15 × x

x = 4×9015 = 24°

(iii) यदि दो लगातार तीलियों के बीच का कोण 40° है, तो

4 × 90° = y × 40°

y = 4×9040 = 9 तीलियाँ।

अत: तीलियों की आवश्यक संख्या = 9.

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4।

यदि मिठाई का एक डिब्बा 24 बच्चों में बाँटा जाए तो प्रत्येक को 5 मिठाइयाँ मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या 4 कम कर दी जाए तो प्रत्येक को कितने मिलेंगे?

समाधान:

बच्चों की संख्यामिठाइयों की संख्या245(24-4) या 20ए

हम देखते हैं कि बच्चों की संख्या बढ़ने पर प्रत्येक को मिलने वाली मिठाइयों की संख्या कम होगी। इसलिए, वे विपरीत अनुपात में हैं।

x1y1= x2y2

जहां x1= 24, y1=5, x2=20

और y2= a(let)

24 × 5 = 20 × ए

ए = 6

अत: मिठाइयों की आवश्यक संख्या = 6.

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 5।

एक किसान के पास अपने मवेशियों में 20 जानवरों को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर हों तो भोजन कितने समय तक चलेगा?

समाधान:

यदि जानवरों की संख्या बढ़ती है, तो इसे टिकने में कम दिन लगेंगे।

फिर दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

जानवरों की संख्यादिनों की संख्या206(20 + 10) या 30पी

माना दिनों की आवश्यक संख्या p है।

x1y1= x2y2

जहाँ x1=20, y1=6, x2=3

और y2=p (चलो)

20 × 6 = 30 × पी

पी = 4

अतः आवश्यक दिनों की संख्या = 4.

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 6।

एक ठेकेदार का अनुमान है कि 3 व्यक्ति 4 दिनों में जसमिंदर के घर की मरम्मत कर सकते हैं। यदि, वह तीन के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा?

समाधान:

यदि व्यक्तियों की संख्या बढ़ा दी जाए तो कार्य पूरा होने में कम दिन लगेंगे।

इस प्रकार, दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

व्यक्तियों की संख्यादिनों की संख्या344k

माना दिनों की आवश्यक संख्या k है।

x1y1= x2y2

3 × 4 = 4 × के

के = 3 दिन.

अतः, आवश्यक दिनों की संख्या = 3.

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 7.

बोतलों का एक बैच 25 बक्सों में पैक किया गया था और प्रत्येक बक्से में 12 बोतलें थीं। यदि एक ही बैच को प्रत्येक डिब्बे में 20 बोतलों का उपयोग करके पैक किया जाता है, तो कितने डिब्बे भरे जाएंगे?



समाधान:

यदि बोतलों की संख्या बढ़ाई जाती है तो बक्सों की आवश्यक संख्या कम हो जाएगी। इस प्रकार दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

बक्सों की संख्या प्रति बक्सा बोतलों की संख्या2512x20

माना बक्सों की आवश्यक संख्या x है।

x1y1= x2y2

25 × 12 = x × 20

एक्स = 15

अतः बक्सों की आवश्यक संख्या = 15.

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 8.

एक कारखाने को 63 दिनों में दी गई संख्या में वस्तुओं का उत्पादन करने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। 54 दिनों में समान संख्या में वस्तुएँ तैयार करने के लिए कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?

समाधान:

यदि मशीनों की संख्या बढ़ा दी जाए तो समान संख्या में वस्तुएँ तैयार करने में कम दिन लगेंगे।

इस प्रकार, दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

मशीनों की संख्यादिनों की संख्या4263x54

माना मशीनों की आवश्यक संख्या x है।

x1y1= x2y2

42 × 63 = x × 54

एक्स = 49

इसलिए, मशीनों की आवश्यक संख्या 49 है।

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 9।

एक कार को 60 किमी/घंटा की गति से यात्रा करके किसी गंतव्य तक पहुंचने में 2 घंटे लगते हैं। जब कार 80 किमी/घंटा की गति से चले तो कितना समय लगेगा?

समाधान:

गति बढ़ाने पर दूरी तय करने में कम समय लगेगा।

इस प्रकार दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

गति किमी/घंटा में, समय घंटे में 60280x

माना कि आवश्यक समय x घंटे है।

x1y1= x2y2

60 × 2 = 80 × x

x = 32 घंटे = 112 घंटे.

अतः, आवश्यक समय = 112 घंटे।

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 10।

दो व्यक्ति 3 दिनों में एक घर में नई खिड़कियाँ लगा सकते हैं।

(i) काम शुरू होने से पहले एक व्यक्ति बीमार पड़ गया। अब काम में कितना समय लगेगा?

(ii) एक दिन में खिड़कियाँ फिट करने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?

समाधान:

व्यक्तियों की संख्या बढ़ने पर किसी कार्य को पूरा करने में कम समय लगेगा।

इस प्रकार, मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

व्यक्तियों की संख्यादिनों की संख्या23(i) 1(2 – 1)x(ii) y1

(i) माना दिनों की आवश्यक संख्या x है।

x1y1= x2y2

2 × 3 = 1 × x

एक्स = 6

अतः, अभीष्ट दिनों की संख्या = 6

(ii) माना व्यक्तियों की आवश्यक संख्या y है।

x1y1= x2y2

2 × 3 = y × 1

y = 6

अतः, व्यक्तियों की आवश्यक संख्या = 6.

प्रश्नावली 13.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 11.

एक स्कूल में प्रति दिन 45 मिनट की अवधि के 8 पीरियड होते हैं। यदि स्कूल में प्रतिदिन 9 पीरियड हों, स्कूल के घंटों की संख्या समान मानते हुए, प्रत्येक पीरियड कितना लंबा होगा?

समाधान:

पीरियड्स की अवधि बढ़ाने पर पीरियड्स की संख्या कम हो जाएगी।

इस प्रकार, दोनों मात्राएँ विपरीत अनुपात में हैं।

अवधियों की संख्या अवधियों की अवधि मिनटों में8459x

माना प्रत्येक अवधि की आवश्यक अवधि x है।

x1y1= x2y2

8 × 45 = 9 × x

x = 40 मिनट

अत:, अवधि की आवश्यक अवधि = 40 मिनट।



















6th math Ex. 6.1

date sheet September 2023 SAT exam

8th math ex 12.3

कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन पूर्व 12.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान

कक्षा 8 गणित के गुणनखंडन अभ्यास 12.1

कक्षा 8 गणित गुणनखंडन प्रश्नावली 12.2

 एनसीईआरटी समाधान

पूर्व 14.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 1.

निम्नलिखित डिवीजनों को पूरा करें।

(i) 28x⁴ ÷ 56x

(ii) -36y³ ÷ 9y²

(iii) 66pq²r³ ÷ 11qr²

(iv) 34x³y³z³ ÷ 51xy²z³

(v) 12a8b8 ÷ (-6a6b4)

समाधान:

 

पूर्व 14.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2.

निम्नलिखित बहुपद को दिए गए एकपदी से विभाजित करें।

(i) (5x²- 6x) ÷ 3x

(ii) (3y8- 4y6 + 5y⁴) ÷ y⁴

(iii) 8(x³y²z²+ x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²

(iv) (x³ + 2x² + 3x) ÷ 2x

(v) (p³q6- p6q³) ÷ p³q³

समाधान:

 

 

Ex 14.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.

निम्नलिखित डिवीजनों का काम करें।

(i) (10x - 25) ÷ 5

(ii) (10x - 25) ÷ (2x - 5)

(iii) 10y(6y + 21) ÷ 5(2y + 7)

(iv) 9x2y2(3z – 24) ÷ 27xy(z – 8)

(v) 96abc(3a - 12) (5b - 30) ÷ 144(a - 4)(b - 6)

समाधान:

 

Ex 14.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4.

निर्देशित के रूप में विभाजित करें।

(i) 5(2x + 1) (3x + 5) ÷ (2x + 1)

(ii) 26xy (x + 5)(y - 4) ÷ 13x(y - 4)

(iii) 52pqr(p + q) (q + r) (r + p) ÷ 104pq(q + r)(r + p)

(iv) 20(y + 4)(y2 + 5y + 3) ÷ 5(y + 4)

(v) x(x + 1) (x + 2) (x + 3) ÷ x(x + 1)

समाधान:

 

Ex 14.3 कक्षा 8 गणित प्रश्न 5.

व्यंजकों के गुणनखंड करें और उन्हें निर्देशानुसार विभाजित करें।

(i) (y² + 7y + 10) ÷ (y + 5)

(ii) (m²- 14m - 32) ÷ (m + 2)

(iii) (5p² - 25p + 20) ÷ (p - 1)

(iv) 4yz(z² + 6z – 16) ÷ 2y(z + 8)

(v) 5pq(p² - q2) ÷ 2p(p + q)

(vi) 12xy(9x² - 16y2) ÷ 4xy(3x + 4y)

(vii) 39y³(50y² – 98) ÷ 26y2(5y + 7)

समाधान:

 

8th math 12.2

    कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन .

        एनसीईआरटी समाधान

    कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन

        प्रश्नावली 12.2 के लिए

           एनसीईआरटी समाधान

   प्रश्नावली 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 1.

   निम्नलिखित व्यंजक का गुणनखंडन कीजिए।

          (i) a² + 8a +16

         (ii) p² - 10p + 25

• (iii) 25m² + 30m + 9
• (iv) 49y² + 84yz + 36z²
• (v) 4x² - 8x + 4
• (vi) 121b² - 88bc + 16c²
• (vii) (l + m)² - 4 lm 
• (संकेत: पहले (l + m)² का विस्तार करें)
• (viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴

समाधान:

(i) a² + 8a + 16

यहाँ, 4 + 4 = 8 और 4 × 4 = 16

a² + 8a +16

= a² + 4a + 4a+ 4 × 4

= (a² + 4a) + (4a + 16)

= a (a + 4) + 4 (a + 4)

= (a+ 4) (a + 4)

= (a + 4)²

(ii) p² - 10p + 25 

यहाँ, 5 + 5 = 10 और 5 × 5 = 25

   P²– 10p + 25

= p²– 5p – 5p + 5 × 5

= (p²– 5p) + (-5p + 25)

= p(p - 5) - 5 (p - 5)

= (p - 5) (p - 5)

= (p - 5)²

(iii) 25m² + 30m + 9

यहाँ, 15 + 15 = 30 और 15 × 15 = 25 × 9 = 225

  25m² + 30m + 9

= 25m² + 15m + 15m + 9

= (25m² + 15m) + (15m + 9)

= 5m(5m + 3) + 3(5m + 3)

= (5m + 3) (5m + 3)

= (5मी + 3)²

(iv) 49y² + 84yz + 36z²

यहाँ, 42 + 42 = 84 और 42 × 42 = 49 × 36 = 1764

49y² + 84yz + 36z²

= 49y² + 42yz + 42yz + 36z2

= 7y(7y + 6z) +6z(7y + 6z)

= (7y + 6z) (7y + 6z)

= (7y + 6z)²

(v) 4x² - 8x + 4

= 4(x² – 2x + 1) [4 उभयनिष्ठ लेकर]

= 4(x² - x - x + 1)

= 4 [x (x - 1) -1 (x- 1)]

= 4 (x - 1) (x - 1)

= 4(x – 1)²

(vi) 121b² - 88bc + 16c²

यहाँ, 44 + 44 = 88 और 44 × 44 = 121 × 16 = 1936

121b² – 88bc + 16c²

= 121b² - 44bc - 44bc + 16c²

= 11b(11b – 4c) – 4c(11b – 4c)

= (11b - 4c) (11b - 4c)

= (11b - 4c)²

(vii) (l+ m)² - 4 lm

(l + m)² का प्रसार करने पर, हम पाते हैं

l²+ 2 lm + m²- 4 lm

= l² - 2lm + m²

= l² - lm - lm + m²

= l (l - m) - m (l - m)

= (l- m) (l - m)

= (l - m)²

(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴

= a⁴+ a²b²+ a²b²+ b⁴

= a²(a²+ b²) + b²(a²+ b²)

= (a²+ b²)(a²+ b²)

= (a²+ b²)²

पूर्व 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2

गुणनखण्ड।

(i) 4p²- 9q²

(ii) 63a² - 112b²

(iii) 49x² - 36

(iv) 16x5 - 144x³

(v) (l + m)² - (l - m)²

(vi) 9x²y² - 16

(vii) (x² - 2xy + y²) - z²

(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²

उपाय:

(i) 4p² - 9q²

= (2p)² - (3q)²

= (2p – 3q) (2p + 3q)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(ii) 63a² - 112b²

= 7(9a² - 16b²)

= 7 [(3a)² - (4b)²]

= 7(3a – 4b)(3a + 4b)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(iii) 49x² - 36 = (7x)² - (6)²

= (7x – 6) (7x + 6)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(iv) 16x5 - 144x³ 

= 16x³ (x² - 9)

= 16x³ [(x)² - (3)²]

= 16x³(x – 3)(x + 3)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(v) (l + m)² - (l - m)²

= (l + m) - (l - m)] [(l + m) + (l - m)]

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

= (l+ m - l + m) (l + m + l - m)

= (2m) (2l)

= 4 ml

(vi) 9x²y²- 16 = (3xy)²- (4)²

= (3xy – 4)(3xy + 4)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(vii) (x² - 2xy + y²) - z²

= (x – y)² – z²

= (x - y - z) (x - y + z)

[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]

(viii) 25a² - 4b² + 28bc - 49c²

= 25a² - (4b² - 28bc + 49c²)

= (5a)² - (2b - 7c)²

= [5a - (2b - 7c)] [5a + (2b - 7c)]

= (5a - 2b + 7c) (5a + 2b - 7c)

प्रश्नावली 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.

व्यंजकों का गुणनखंडन कीजिए।

(i) ax²+ bx

(ii) 7p²+ 21q²

(iii) 2x³ + 2xy²+ 2xz²

(iv) am² + bm²+ bn²+ anan²

(V) (lm + l) + m + 1

(vi) y(y + z) + 9 (y + z)

(vii) 5y2 - 20y - 8z + 2yz

(viii) 10ab + 4a + 5b + 2

(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x

हल

(i) ax²+ bx 

= x(ax + 5)

(ii) 7p²+ 21q² 

= 7(p² + 3q²)

(iii) 2x³ + 2xy²+ 2xz² 

= 2x(x² + y² + z²)

(iv) am² + bm²+ bn²+ an²

= m²(a+ b) + n²(a+ b)

= (a+ b) (m²+ n²)

(V) (lm + l) + m + 1

= l (m + 1) + (m + 1)

= (m+ 1) (l + 1)

(vi) y(y + z) + 9 (y + z) 

= (y + z) (y + 9)

(vii) 5y² - 20y - 8z + 2yz

= 5y² – 20y + 2yz – 8z

= 5y(y – 4) + 2z(y – 4)

= (y - 4) (5y + 2z)

(viii) 10ab + 4a + 5b + 2

= 2a(5b + 2) + 1(5b + 2)

= (5b + 2)(2a + 1)

(ix) 6xy - 4y + 6 - 9x

= 6xy – 4y – 9x + 6

= 2y(3x – 2) – 3(3x – 2)

= (3x - 2) (2y - 3)

Ex 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 4.

गुणनखण्ड।

(i) a⁴- b⁴

(ii) p⁴- 81

(iii) x⁴- (y + z)⁴

(iv) x⁴- (x - z)⁴

(v) a⁴- 2a²b² + b⁴

समाधान:

(i) a⁴- b⁴- (a²)²- (b²)²

[∵ a²– b² = (a – b)(a + b)]

= (a² - b²) (a² + b²)

= (a- b) (a+ b) (a²+ b²)

(ii) p⁴ - 81 = (p²)²- (9)²

= (p²- 9) (p²+ 9)

[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]

= (p- 3) (p + 3) (p²+ 9)

(iii) x⁴ - (y + z)⁴ = (x²)² - [(y + z)²]²

[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]

= [x² - (y + z)²] [x²+ (y + z)²]

= [x - (y + z)] [x + (y + z)] [x² + (y + z)²]

= (x - y - z) (x + y + z) [x² + (y + z)²]

(iv) x⁴ - (x - z)⁴ = (x²)² - [(y - z)²]²

= [x² - (y - z)²] [x²+ (y - z)²]

= (x - y + z) (x + y - z) (x² + (y - z)²]

(v) a⁴- 2a²b² + b⁴

= a⁴- a²b²- a²b²+ b⁴

= a²(a² – b²) – b²(a²– b²)

= (a² - b²) (a² - b²)

= (a²- b²)²

= [(a- b) (a+ b)] ²

= (a - b)² (a+ b)²

Ex 12.2 कक्षा 8 गणित प्रश्न 5.

निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए।

(i) p²+ 6p + 8

(ii) q²- 10q+ 21

(iii) p² + 6p - 16

समाधान:

(i) p² + 6p + 8

यहाँ, 2 + 4 = 6 और 2 × 4 = 8

p²+ 6p + 8

= p²+ 2p + 4p + 8

= p (p+ 2) + 4 (p+ 2)

= (p+ 2) (p+ 4)

(ii) q²- 10q+ 21

यहाँ, 3 + 7 = 10 और 3 × 7 = 21

q²- 10q + 21

= q² - 3q - 7q + 21

= q(q - 3) - 7 (q - 3)

= (q - 3) (q - 7)

(iii) p² + 6p - 16

यहाँ, 8 - 2 = 6 और 8 × 2 = 16

p²+ 6p – 16

= p²+ 8p - 2p - 16

= p (p+ 8) - 2 (p+ 8)

= (p+ 8) (p - 2)

कक्षा 8 गणित अध्याय 14 गुणनखंड पूर्व 14.2 Q1 के लिए एनसीईआरटी समाधान

कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन एनसीईआरटी समाधान

कक्षा 8 गणित 

    अध्याय 12 गुणनखंडन 

    एनसीईआरटी समाधान

कक्षा 8 गणित 

       गुणनखंडन 

      अभ्यास 12.1

प्रश्नावली 12.1कक्षा 8 गणित 

प्रश्न 1.

दी गई शर्तों के सार्व गुणनखण्ड का पता लगाएं।

(i) 12x, 36

(ii) 2y,  22xy

(iii) 14pq,  28p²q²

(iv) 2x, 3x², 4

(v) 6abc, 24ab², 12a²b

(vi) 16x², -4x², 32x

(vii) 10pq,  20qr, 30rp

(viii) 3x²y³, 10x³y³, 6x²y²z

उत्तर:

(i) 12x, 36

       12x = (2 × 2 × 3 × x)

 और 36 =  (2 × 2 × 3 × 3)

सार्व गुणनखण्ड =2 × 2 × 3 = 12 हैं

अतः सार्व गुणनखण्ड = 12 है

(ii) 2y, 22xy

2y= (2 × y) और (2 × 11 × x × y)

सार्व गुणनखण्ड 2 × y = 2y हैं

इसलिए, सार्व गुणनखण्ड = 2y

(iii) 14pq, 28p²q²

    14pq= (2 × 7 × p × q) और 

    28p²q²= (2 × 2 × 7 × p × p × q × q)

    सार्व गुणनखण्ड= 2 × 7 × p × q = 14pq हैं

   इसलिए, सार्व गुणनखण्ड = 14pq

(iv) 2x, 3x², 4

      2x= (2 × x), 

      3x=(3 × x × x) और 

        4 =(2 × 2)

       सार्व गुणनखण्ड 1 है

     इसलिए, उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1 

      [∵ 1 प्रत्येक संख्या का गुणनखंड है]

(v) 6abc, 24ab², 12a²b

      6abc= (2 × 3 × a × b × c), 

      24ab²=(2 × 2 × 2 × 3 × a × b × b) और   

      12a²b=(2 × 2 × 3 × a × a × b)

      सार्व गुणनखण्ड 2 × 3 × a × b = 6ab हैं

      अतः सार्व गुणनखंड = 6ab

(vi) 16x3, -4x2, 32x

        16x³= (2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x), 

         -4x2= - (2 × 2 × x × x), 

          32x=(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x)

         सार्व गुणनखण्ड 2 × 2 × x = 4x हैं

        अतः सार्व गुणनखण्ड = 4x

(vii) 10pq, 20qr, 30rp

       10pq = (2 × 5 × p × q), 

      20qr  =  (2 × 2 × 5 × q × r), 

       30rp = (2 × 3 × 5 × r × p)

     सार्व गुणनखण्ड 2 × 5 = 10 हैं

     अतः सार्व गुणनखंड = 10

(viii) 3x²y², 10x³y², 6x²y²z

          3x²y² = (3 × x × x × y × y), 

          10x³y²= (2 × 5 × x × x × x × y × y), 

          6x²y²z= (2 × 3 × x × x × y × y × z)

       सार्व गुणनखण्ड x × x × y × y = x²y² हैं

       अतः सार्व गुणनखंड = x²y²

 प्रश्नावली 12.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 2.

निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए।

(i) 7x - 42

(ii) 6p - 12q

(iii) 7a² + 14a

(iv) -16z + 20z³

(v) 2012m + 30alm

(vi) 5x²y - 15xy²

(vii) 10a² - 15b²+ 20c²

(viii) -4a² + 4ab - 4ca

(ix) x²yz + xy²z + xyz²

(x) ax²y + bxy² + cxyz

उत्तर:

(i) 7x - 42 = 7(x - 6)

(ii) 6p – 12q = 6(p – 2q)

(iii) 7a² + 14a = 7a(a + 2)

(iv) -16z + 20z³ = 4z(-4 + 5z²)

(v) 20l²m + 30alm = 10lm(2l + 3a)

(vi) 5x²y - 15xy² = 5xy(x - 3y)

(vii) 10a² - 15b² + 20c² = 5(2a² - 3b² + 4c²)

(viii) -4a² + 4ab - 4ca = 4a(-a + b - c)

(ix) x²yz + xy²z + xyz² = xyz(x + y + z)

(x) ax²y + bxy²+ cxyz = xy(ax + by + cz)

प्रश्नावली 12.1 कक्षा 8 गणित प्रश्न 3.

गुणनखंड करें:

(i) x² + xy + 8x + 8y

(ii) 15xy - 6x + 5y - 2

(iii) ax + bx - ay - by

(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p

(v) z - 7 + 7xy - xyz

उत्तर:

(i) x² + xy + 8x + 8y

x² + xy + 8x + 8y

= x (x + y) + 8 (x + y)

= (x + y) (x + 8)

इसलिए, गुणनखंड = (x + y)(x + 8)

(ii) 15xy - 6x + 5y - 2

(15xy – 6x) + (5y – 2)

= 3x(5y – 2) + (5y – 2)

= (5y – 2)(3x + 1)

(iii) ax + bx - ay - by

= (ax - ay) + (bx - by)

= a(x - y) + b (x - y)

= (x - y) (a+ b)

इसलिए, गुणनखंड = (x - y)(a + b)

(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p

= (15pq + 25p) + (9q + 15)

= 5p(3q + 5) + 3(3q + 5)

= (3q + 5) (5p + 3)

इसलिए, आवश्यक गुणनखंड = (3q + 5) (5p + 3)

(v) z - 7 + 7xy - xyz

= (-xyz + 7xy) + (z - 7)

= -xy(z – 7) + 1 (z – 7)

= (-xy + 1) (z - 1)

इसलिए अभीष्ट गुणनखंड = -(1 – xy) (z – 7)

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित अध्याय 12 गुणनखंड पूर्व 12.1